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<!DOCTYPE html>

<title>Quantisierung (Physik)</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Quantisierung (Physik)</span></h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p><b>Quantisierung</b> ist bei der theoretischen Beschreibung eines <a href="Physikalisches_System" title="Physikalisches System">physikalischen Systems</a> der Schritt, bei dem Ergebnisse, Begriffe oder Methoden der <a href="Klassische_Physik" title="Klassische Physik">klassischen Physik</a> so abgeändert werden, dass <a href="Quantenphysik" title="Quantenphysik">quantenphysikalische</a> Beobachtungen am System richtig wiedergegeben werden. Unter anderem soll dadurch die <a href="Quantelung" title="Quantelung">Quantelung</a> vieler messbarer Größen erklärt werden, z. B. das Vorliegen bestimmter <a href="Diskret#In_Wissenschaft_und_Technik" title="Diskret">diskreter</a> Energiewerte bei den Anregungsstufen eines Atoms.

</p><p>Ab 1900, zu Beginn der Quantenphysik, bedeutete Quantisierung im Wesentlichen, dass nach einer Berechnung von Prozessen und Zuständen gemäß der klassischen Physik noch bestimmte zusätzliche Regeln anzuwenden waren, mit denen diejenigen Ergebnisse ausgeschlossen wurden, die den Beobachtungen widersprachen. Diese <a href="Ph%C3%A4nomenologie_(Methodik)" title="Phänomenologie (Methodik)">phänomenologischen</a> Regeln, die aus der klassischen Physik nicht begründet werden können, kennzeichnen die älteren Quantentheorien, unter ihnen z. B. das <a href="Bohrsches_Atommodell" title="Bohrsches Atommodell">bohrsche Atommodell</a>.

</p><p><a href="Werner_Heisenberg" title="Werner Heisenberg">Werner Heisenberg</a> und <a href="Erwin_Schr%C3%B6dinger" title="Erwin Schrödinger">Erwin Schrödinger</a> fanden 1925/26 dann unabhängig voneinander Vorschriften zum Aufstellen von <a href="Quantenmechanik" title="Quantenmechanik">quantenmechanischen</a> <a href="Bewegungsgleichung" title="Bewegungsgleichung">Bewegungsgleichungen</a> für ein <a href="Physikalisches_System" title="Physikalisches System">physikalisches System</a>. Mit Hilfe dieser Vorschriften wurden die Grundbegriffe und Grundgleichungen der <a href="Klassische_Mechanik" title="Klassische Mechanik">klassischen Mechanik</a> so modifiziert, dass aus den entsprechenden Berechnungen die quantenphysikalischen Beobachtungen richtig vorhergesagt wurden. Obwohl die Vorschriften von Heisenberg und Schrödinger zunächst sehr verschieden erscheinen, haben sie eine gemeinsame mathematische Grundlage, die als <i>kanonische Quantisierung</i> bezeichnet wird. Mit ihr begann die Entwicklung der heutigen <a href="Quantenmechanik" title="Quantenmechanik">Quantenmechanik</a>.

</p><p>Die kanonische Quantisierung lässt sich in etwas modifizierter Form auch auf <a href="Feld_(Physik)" title="Feld (Physik)">physikalische Felder</a> anwenden. Dies wurde ab 1927 zur Grundlage der <a href="Quantenfeldtheorie" title="Quantenfeldtheorie">Quantenfeldtheorie</a>. Zur Unterscheidung, ob klassische Teilchensysteme oder klassische Felder quantisiert werden, wurden die Begriffe <a href="#Quantenmechanik_(ab_1925)"><b>erste</b> oder <b>kanonische Quantisierung</b></a> und <a href="#Quantenelektrodynamik_(ab_1927)">zweite Quantisierung</a> eingeführt.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Entwicklung">Entwicklung</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ältere_Quantentheorie_(1900–1925)"><span id=".C3.84ltere_Quantentheorie_.281900.E2.80.931925.29"></span>Ältere Quantentheorie (1900–1925)</h3></div>

<p>Die erste Regel zur Quantisierung wurde 1900 von <a href="Max_Planck" title="Max Planck">Max Planck</a> angegeben, um mit den Mitteln der klassischen <a href="Statistische_Physik" title="Statistische Physik">statistischen Physik</a> das Spektrum der <a href="W%C3%A4rmestrahlung" title="Wärmestrahlung">Wärmestrahlung</a> berechnen zu können. Diese damals als <a href="Quantenhypothese" title="Quantenhypothese">Quantenhypothese</a> bezeichnete Regel lautet: Der Energieaustausch zwischen Materie und <a href="Elektromagnetische_Strahlung" class="mw-redirect" title="Elektromagnetische Strahlung">elektromagnetischer Strahlung</a> der <a href="Frequenz" title="Frequenz">Frequenz</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nu }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c15bbbb971240cf328aba572178f091684585468.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.232ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \nu }" loading="lazy"></span> findet nur in <a href="Quant" title="Quant">Quanten</a> der Größe <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h\nu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h\nu }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3cc23768f43b26085f80e1882a94b31d24abd653.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.571ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h\nu }" loading="lazy"></span> statt, d. h., er ist <a href="Quantelung" title="Quantelung"><i>gequantelt</i></a>. Darin ist die Konstante <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation>

</semantics>

</p><p>Die Vorstellung, dass es ein <a href="Harmonischer_Oszillator" title="Harmonischer Oszillator">harmonischer Oszillator</a> ist, dem das elektromagnetische Feld Energie zuführt oder abnimmt, leitet zur Aussage, dass er nicht mit beliebig wählbarer Energie angeregt sein kann, sondern nur Zustände mit diskreten äquidistanten <a href="Energieniveau" title="Energieniveau">Energieniveaus</a> im Abstand <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta E=h\nu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta E=h\nu }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81c09c69f2c6f30d3c14d7cffc1e054be196ddcd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.381ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta E=h\nu }" loading="lazy"></span> besitzt. Diese Auswahl aus dem <a href="Kontinuum_(Physik)" title="Kontinuum (Physik)">Kontinuum</a> der klassisch erlaubten Zustände lässt sich aus der allgemeineren Annahme herleiten, jeder Zustand beanspruche im <a href="Phasenraum" title="Phasenraum">Phasenraum</a> ein Volumen der Größe <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}" loading="lazy"></span> (pro Raumdimension). Gleichbedeutend ist die Forderung, das <a href="Phasenintegral_(Hamilton-Mechanik)" title="Phasenintegral (Hamilton-Mechanik)">Phasenintegral</a> eines Zustands könne für jede Koordinate nur ganzzahlige Vielfache von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation>

</semantics>

</p>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \oint p\,dq=nh}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/41d5b59460034fcde8fc7a10878384dafd37a651.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:12.255ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \oint p\,dq=nh}" loading="lazy"></span>, (<span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=0,\,1,\,2\,\ldots }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=0,\,1,\,2\,\ldots }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec728a780ec95ee10e220e453b1f7c82367dbb0e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.32ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle n=0,\,1,\,2\,\ldots }" loading="lazy"></span>)</dd></dl>

<p>Darin ist <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}" loading="lazy"></span> eine <a href="Verallgemeinerte_Koordinate" class="mw-redirect" title="Verallgemeinerte Koordinate">(verallgemeinerte) Ortskoordinate</a> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"></span> der zugehörige <a href="Kanonischer_Impuls" class="mw-redirect" title="Kanonischer Impuls">(kanonische) Impuls</a>, <i>kanonisch</i> im Sinne der <a href="Klassische_Mechanik" title="Klassische Mechanik">klassischen Mechanik</a> in der Formulierung in der <a href="Hamiltonsche_Mechanik" title="Hamiltonsche Mechanik">Hamiltonschen Mechanik</a> oder im <a href="Lagrange-Formalismus" title="Lagrange-Formalismus">Lagrange-Formalismus</a>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Quantenmechanik_(ab_1925)"><span id="Quantenmechanik_.28ab_1925.29"></span>Quantenmechanik (ab 1925)</h3></div>

<p>Die <a href="Quantenmechanik" title="Quantenmechanik">Quantenmechanik</a> modifiziert die Hamiltonsche Mechanik dahingehend, dass die <i>kanonisch konjugierten</i> Orts- und Impulskoordinaten nicht mehr Zahlenwerten („c-Zahl“ für „classical number)“ entsprechen, sondern <a href="Operator_(Mathematik)" title="Operator (Mathematik)">Operatoren</a> („q-Zahl“ für „quantum number“). Diese Modifikation wird auch <b>erste Quantisierung</b> oder <b>kanonische Quantisierung</b> genannt.

</p><p>Die <a href="Hamilton-Funktion" title="Hamilton-Funktion">Hamilton-Funktion</a> wird dadurch zum <a href="Hamilton-Operator" class="mw-redirect" title="Hamilton-Operator">Hamilton-Operator</a>. Solche Größen heißen <a href="Observable" title="Observable">Observablen</a>, ihre möglichen Messwerte sind durch die <a href="Eigenwert" class="mw-redirect" title="Eigenwert">Eigenwerte</a> des zugehörigen Operators gegeben, die je nach Operator kontinuierlich oder diskret verteilt (<i>gequantelt</i>) sein können. Da die Operatoren für den Ort und den Impuls in Produkten nicht <a href="Kommutator_(Mathematik)#Anwendung_in_der_Physik" title="Kommutator (Mathematik)">vertauschbar</a> sind, ergeben sich charakteristische Abweichungen von den Ergebnissen der klassischen Mechanik.

</p><p>Eine darauf aufbauende Quantisierung mit stärkerer Einbeziehung des <a href="Phasenraum" title="Phasenraum">Phasenraumes</a> bildet die <a href="Weyl-Quantisierung" title="Weyl-Quantisierung">Weyl-Quantisierung</a>. Diese Quantisierung bildet die Grundlage für die weiter unten beschriebene Deformationsquantisierung.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Quantenelektrodynamik_(ab_1927)"><span id="Quantenelektrodynamik_.28ab_1927.29"></span>Quantenelektrodynamik (ab 1927)</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation"><span class="hauptartikel-pfeil" title="siehe" aria-hidden="true" role="presentation">→ </span><i><span class="hauptartikel-text">Hauptartikel</span>: <a href="Zweite_Quantisierung" title="Zweite Quantisierung">Zweite Quantisierung</a></i></div>

<p>Die <a href="Quantenelektrodynamik" title="Quantenelektrodynamik">Quantenelektrodynamik</a> geht von den klassischen <a href="Feldgleichung" class="mw-redirect" title="Feldgleichung">Feldgleichungen</a> (hier den <a href="Maxwell-Gleichungen" title="Maxwell-Gleichungen">Maxwell-Gleichungen</a>) in hamiltonscher Form aus und quantisiert sie nach dem Vorbild der 1. Quantisierung. Aus den Operatoren für die <a href="Feldst%C3%A4rke" title="Feldstärke">Feldstärke</a> und dem zugehörigen kanonischen Impuls lassen sich <a href="Erzeugungs-_und_Vernichtungsoperator" title="Erzeugungs- und Vernichtungsoperator">Auf- und Absteigeoperatoren</a> bilden, die die Energie des Feldes um jeweils <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h\nu \ (=\hbar \omega )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h\nu \ (=\hbar \omega )}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/657f2448eff5ed52e8627c4d5e8aa8829a6393af.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.167ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle h\nu \ (=\hbar \omega )}" loading="lazy"></span> verändern. Darin ist <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \hbar }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \hbar }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/de68de3a92517953436c93b5a76461d49160cc41.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.306ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \hbar }" loading="lazy"></span> die <a href="Reduzierte_Planck-Konstante" class="mw-redirect" title="Reduzierte Planck-Konstante">reduzierte Planck-Konstante</a> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/48eff443f9de7a985bb94ca3bde20813ea737be8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.446ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \omega }" loading="lazy"></span> die <a href="Kreisfrequenz" title="Kreisfrequenz">Kreisfrequenz</a>.

</p><p>Dies erfolgt methodisch analog zu den Orts- und Impulsoperatoren des harmonischen Oszillators, aus denen die Auf- und Absteigeoperatoren für die Energieniveaus folgen, hat hier aber die Bedeutung einer Vermehrung oder Verminderung der Anzahl der <a href="Photon" title="Photon">Photonen</a>, d. h. der <a href="Feldquant" title="Feldquant">Feldquanten</a> des <a href="Elektromagnetisches_Feld" title="Elektromagnetisches Feld">elektromagnetischen Feldes</a>. In gewissem Sinne wird hier also die Teilchenzahl selber zu einer quantentheoretischen Messgröße (Observable) mit gequantelten Eigenwerten, weshalb für das ganze Verfahren die Bezeichnung <a href="2._Quantisierung" class="mw-redirect" title="2. Quantisierung">2. Quantisierung</a> gebraucht wird.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Andere_Quantenfeldtheorien_(ab_1934)"><span id="Andere_Quantenfeldtheorien_.28ab_1934.29"></span>Andere Quantenfeldtheorien (ab 1934)</h3></div>

<p>Da nicht nur Photonen, sondern alle Teilchen erzeugt und vernichtet werden können, werden sie in der <a href="Quantenfeldtheorie" title="Quantenfeldtheorie">Quantenfeldtheorie</a> als Feldquanten ihrer jeweiligen Felder behandelt. Falls für die Hamilton-Funktion (bzw. Lagrange-Funktion) des betreffenden Feldes keine klassischen Vorbilder existieren, wird diese in Form eines <a href="Ansatz_(Mathematik)" title="Ansatz (Mathematik)">Ansatzes</a> an den Anfang der theoretischen Behandlung gestellt. Die Quantisierung erfolgt nach dem Vorbild der Quantenelektrodynamik, indem Auf- und Absteigeoperatoren eingeführt werden. Sie werden hier als <a href="Erzeugungsoperator" class="mw-redirect" title="Erzeugungsoperator">Erzeugungs- bzw. Vernichtungsoperator</a> bezeichnet.

</p><p>Die Vertauschungsregeln, denen sie genügen, werden festgelegt:

</p>

<ul><li>entweder wie in der Quantenelektrodynamik als <a href="Kommutator_(Mathematik)" title="Kommutator (Mathematik)">Kommutatoren</a>, dann ergeben sich die Feldquanten als <a href="Boson" title="Boson">Bosonen</a>,</li>

<li>oder mit einem Vorzeichenwechsel als <a href="Antikommutator" class="mw-redirect" title="Antikommutator">Antikommutatoren</a>, dann ergeben sich die Feldquanten als <a href="Fermion" title="Fermion">Fermionen</a>.</li></ul>

<p>Dieses Verfahren wird als <i>kanonische Feldquantisierung</i> bezeichnet.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Deformationsquantisierung_(ab_1970er)"><span id="Deformationsquantisierung_.28ab_1970er.29"></span>Deformationsquantisierung (ab 1970er)</h3></div>

<p>Bei der Deformationsquantisierung oder <i>Phasenraumformulierung der Quantenmechanik</i> wird die Multiplikation klassischer Ortskoordinaten mit Impulsen durch ein <a href="Algebra_%C3%BCber_einem_kommutativen_Ring" title="Algebra über einem kommutativen Ring">nicht-kommutatives</a> <a href="Sternprodukt" title="Sternprodukt">Sternprodukt</a> ersetzt. Damit werden die <a href="Poisson-Klammer" title="Poisson-Klammer">Poisson-Klammern</a> der klassischen Mechanik zu passenden <a href="Lie-Klammer" title="Lie-Klammer">Lie-Klammern</a> <i>deformiert</i> und es entsteht eine Quantisierung des hamiltonschen Systems.

</p><p>Die <a href="Zustand_(Quantenmechanik)" title="Zustand (Quantenmechanik)">Quantenzustände</a> werden bei dieser Quantisierung durch eine <a href="Quasi-Wahrscheinlichkeitsverteilung" class="mw-redirect" title="Quasi-Wahrscheinlichkeitsverteilung">Quasi-Wahrscheinlichkeitsverteilung</a> auf dem Phasenraum beschrieben.<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Vorgehen_bei_der_ersten_Quantisierung">Vorgehen bei der ersten Quantisierung</h2></div>

<p>Heisenberg und Schrödinger gehen davon aus, dass die <a href="Hamiltonfunktion" class="mw-redirect" title="Hamiltonfunktion">Hamiltonfunktion</a> des klassischen Systems bekannt ist.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Nach_Schrödinger"><span id="Nach_Schr.C3.B6dinger"></span>Nach Schrödinger</h3></div>

<p>Nach Schrödinger werden dann <a href="Energie" title="Energie">Energie</a> und <a href="Impuls" title="Impuls">Impulse</a> durch die folgenden <a href="Impulsoperator" title="Impulsoperator">Operatoren</a> ersetzt, die auf einem <a href="Hilbertraum" title="Hilbertraum">Hilbertraum</a> definiert sind:

</p>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E\rightarrow i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}},\quad p_{x}\rightarrow -i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}},}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/67309272a5bb9aa8d9fe354c31a6d3c3258eb136.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:27.853ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle E\rightarrow i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}},\quad p_{x}\rightarrow -i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}},}" loading="lazy"></span> und analog für <i>y</i> und <i>z</i>.</dd></dl>

<p>Aus der klassischen Hamiltonfunktion

</p>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}+V(r)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/44cf8523d2f02a8104e02e8d1981ae3d1c64b9d5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:16.687ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}+V(r)}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>wird so der <a href="Hamiltonoperator" title="Hamiltonoperator">Hamiltonoperator</a> und damit dann die <a href="Schr%C3%B6dinger-Gleichung" class="mw-redirect" title="Schrödinger-Gleichung">Schrödinger-Gleichung</a> gebildet. Es ergibt sich also direkt eine partielle <a href="Differentialgleichung" title="Differentialgleichung">Differentialgleichung</a> für einen zeitveränderlichen <a href="Zustandsvektor" class="mw-redirect" title="Zustandsvektor">Zustandsvektor</a>. In der Ortsdarstellung ist diese Differentialgleichung eine <a href="Wellengleichung" title="Wellengleichung">Wellengleichung</a> für die <a href="Wellenfunktion" title="Wellenfunktion">Wellenfunktion</a>. Die stationären Lösungen der Differentialgleichung, die man für konstante <a href="Randbedingung" title="Randbedingung">Randbedingungen</a> erhält, haben diskrete <a href="Eigenwert" class="mw-redirect" title="Eigenwert">Eigenwerte</a> für die Energie und oft auch für weitere mechanische Größen.

</p><p>Aus der <a href="Relativit%C3%A4tstheorie" title="Relativitätstheorie">relativistischen</a> Hamiltonfunktion kann so entsprechend die <a href="Klein-Gordon-Gleichung" title="Klein-Gordon-Gleichung">Klein-Gordon-Gleichung</a> für <a href="Boson" title="Boson">Bosonen</a> hergeleitet werden und daraus dann mit einigen zusätzlichen Annahmen auch die <a href="Dirac-Gleichung" title="Dirac-Gleichung">Dirac-Gleichung</a> für <a href="Fermion" title="Fermion">Fermionen</a>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Nach_Heisenberg">Nach Heisenberg</h3></div>

<p>Vielleicht noch weniger anschaulich, mathematisch aber äquivalent, ist das von Heisenberg eingeführte Vorgehen, die klassischen Größen Ort <i>x</i> und Impuls <i>p</i> als <a href="Matrix_(Mathematik)" title="Matrix (Mathematik)">Matrizen</a> (<span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {x,\,p} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {x,\,p} }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b540271d5c249771a7752117fb2c680042845a04.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.413ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {x,\,p} }" loading="lazy"></span>) aufzufassen, die bestimmte <a href="Vertauschungsrelation#Anwendung_in_der_Physik" class="mw-redirect" title="Vertauschungsrelation">Vertauschungsrelationen</a> erfüllen müssen:

</p>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {xp-px} =i\hbar .}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aa3b736ea232d65046dcb51a1ab24a989e9a5d8f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.757ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {xp-px} =i\hbar .}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Walter Weizel: <cite style="font-style:italic">Lehrbuch der Theoretischen Physik</cite>. 2. Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg 1958.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Quantisierung+%28Physik%29&rft.au=Walter+Weizel&rft.btitle=Lehrbuch+der+Theoretischen+Physik&rft.date=1958&rft.edition=2.&rft.genre=book&rft.place=Heidelberg&rft.pub=Springer-Verlag" style="display:none"> </span></li>

<li>Georg Joos: <cite style="font-style:italic">Lehrbuch der Theoretischen Physik</cite>. 11. Auflage. Akad. Verlagsgesellsch., Frankfurt am Main. 1959.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Quantisierung+%28Physik%29&rft.au=Georg+Joos&rft.btitle=Lehrbuch+der+Theoretischen+Physik&rft.date=1959&rft.edition=11.&rft.genre=book&rft.place=Frankfurt+am+Main.&rft.pub=Akad.+Verlagsgesellsch." style="display:none"> </span></li>

<li>Albert Messiah: <cite style="font-style:italic">Quantum Mechanics</cite>. 1. Auflage. North Holland Publ. Comp., Amsterdam 1958.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Quantisierung+%28Physik%29&rft.au=Albert+Messiah&rft.btitle=Quantum+Mechanics&rft.date=1958&rft.edition=1.&rft.genre=book&rft.place=Amsterdam&rft.pub=North+Holland+Publ.+Comp." style="display:none"> </span></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">Stefan Waldmann: <cite style="font-style:italic">Poisson-Geometrie und Deformationsquantisierung</cite>. Springer Verlag, 2001, ISBN 978-3-540-72517-6.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Quantisierung+%28Physik%29&rft.au=Stefan+Waldmann&rft.btitle=Poisson-Geometrie+und+Deformationsquantisierung&rft.date=2001&rft.genre=book&rft.isbn=9783540725176&rft.pub=Springer+Verlag" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text">Maxim Kontsevich: <cite style="font-style:italic">Deformation Quantization of Poisson Manifolds</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Letters in Mathematical Physics</cite>. <span style="white-space:nowrap">Band<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>66</span>, <span style="white-space:nowrap">Nr.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>3</span>, 1. Dezember 2003, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>157–216</span>, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1023/B%3AMATH.0000027508.00421.bf">10.1023/B:MATH.0000027508.00421.bf</a></span>, <a href="ArXiv" title="ArXiv">arxiv</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://arxiv.org/abs/q-alg/9709040v1">q-alg/9709040v1</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Quantisierung+%28Physik%29&rft.atitle=Deformation+Quantization+of+Poisson+Manifolds&rft.au=Maxim+Kontsevich&rft.date=2003-12-01&rft.doi=10.1023%2FB%3AMATH.0000027508.00421.bf&rft.genre=journal&rft.issue=3&rft.jtitle=Letters+in+Mathematical+Physics&rft.pages=157-216&rft.volume=66" style="display:none"> </span></span>

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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</body></html>